Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias
Volumen 2, Número 1, 2025, enero-marzo
DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
SOBRE LA SOLUCIÓN A UN PROBLEMA PENDIENTE:
NO EXISTE UN COMPUESTO C QUE SATISFAGA LA ECUACIÓN
ABOUT THE SOLUTION TO A PENDING PROBLEM:
THERE IS NO COMPOUND C THAT SATISFIES THE EQUATION
Alexander José Villarroel Salazar
Francisco Javier Villarroel Rosillo
Venezuela
303 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Sobre la solución a un problema pendiente: no existe un compuesto c que
satisfaga la ecuación
About the solution to a pending problem: there is no compound c that satisfies
the equation
Alexander José Villarroel Salazar
1
alexvills76@gmail.com
https://orcid.org/0000-0002-4628-1894
Investigador independiente
Venezuela.
Francisco Javier Villarroel Rosillo
2
fjvillr02@gmail.com
https://orcid.org/0000-0002-9159-5892
Investigador independiente
Venezuela.
RESUMEN
En el presente artículo se hace un estudio de las posibles soluciones de la ecuación
para determinar que solo los números compuestos impares pueden ser posibles
soluciones. Luego se asume para llegar a expresiones del tipo
y por medio
del estudio desde y la inserción a la teoría de números del concepto de “primos
codependientes del exponente k”, del cual se muestran ejemplos, así como características de
su uso, se llega a argumentos matemáticos que evidencian la inexistencia de algún número
compuesto que satisfaga la ecuación indicada. A lo largo del artículo se hace la relación entre
los factores primos y los exponentes, se presentan tablas explicativas y argumentos de los
exponentes y los posibles divisores (factores primos) para llegar a concluir que es imposible la
existencia de soluciones.
304 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Palabras clave: aritmética modular, divisibilidad, factorización, números primos, números
compuestos, m.c.m., pequeño teorema de Fermat
ABSTRACT
In this article, a study is made of the possible solutions of the equation 2^(c-1)≡1 (mod c^2 ) to
determine that only odd composite numbers can be possible solutions. Then, c=2k+1 is
assumed to arrive at expressions of the type 〖 4〗^k-1 and through the study from k=1 to k=70
and the insertion into the number theory of the concept of “codependent primes of the exponent
k”, of which examples are shown, as well as characteristics of its use, mathematical arguments
are reached that show the nonexistence of any composite number that satisfies the indicated
equation. Throughout the article, the relationship between the prime factors and the exponents
is made, explanatory tables and arguments of the exponents and the possible divisors (prime
factors) are presented to conclude that the existence of solutions is impossible.
Keywords: modular arithmetic, divisibility, factorization, prime numbers, composite numbers,
l.c.m., Fermat's little theorem
Recibido: 21 de diciembre 2024 | Aceptado: 27 de marzo 2025
305 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
INTRODUCCIÓN
Desde la aparición de la teoría de aritmética modular y de las congruencias en el libro
de disquisiciones aritméticas de Gauss en 1801 son muchos los problemas que han surgido en
base a congruencias estudiando diversos aspectos de los números primos y compuestos.
En la list of unsolved problems in math, que se encuentra en Google en la sección de
teoría de números presenta varios problemas pendientes, entre los cuales están los siguientes:
• Problema 1: Are there any composite c satisfying
?
• Problema 2: ¿Can a prime p satisfy
and
simultaneously ?
• Problema 3: For any given integer a > 0, are there infinitely many primes p such
that
?
El objetivo del presente artículo es resolver el problema 1 de los 3 enunciados en la
lista de problemas irresueltos en matemáticas. Por tal motivo, a lo largo de este artículo se
usan una serie de argumentos matemáticos para determinar la posible existencia de soluciones
para el problema 1.
METODOLOGÍA
Luego de presentar la base referencial en los resultados se sigue un proceso de trabajo
que se basará en lo siguiente:
• Se estudiarán en la ecuación de congruencia original los casos de posibles soluciones
para compuestos pares o impares del exponente.
• Se expresará la ecuación original en congruencias en función de las posibles soluciones
para crear una expresión de trabajo.
• Posteriormente, se hará un estudio de los números compuestos que puedan ser
posibles soluciones y se hace uso de la estrategia de Villarroel y Villarroel (2022) y
Villarroel y Villarroel (2023) respecto a triángulos generadores de números compuestos
para determinar los valores de los exponentes ) y de los posibles divisores ( )
compuestos
• Se definirán los “primos codependientes del exponente k”, mostrando programas en
lenguaje C, ejemplos de su aplicación en factorización y los detalles de su aparición en
diversos exponentes
306 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
• Se tabulan las potencias de la expresión de trabajo
para determinar sus factores
primos para valores desde
• Se hará uso de la teoría de “primos codependientes del exponente ” para comprobar
que no hay soluciones para valores desde , analizando el
comportamiento de los primos codependientes.
• Se harán apreciaciones sobre las posibilidades de obtener el divisor total
en
las diferentes expresiones
• Por último, se estudiarán los exponentes y posibles divisores tomando en cuenta la
figura 2, la tabla 1 y la ecuación 4 y usando ciertos criterios de divisibilidad de los
posibles divisores considerando los factores existentes y los factores pendientes por ser
hallados para explicar la improbabilidad de que se den coincidencias y soluciones desde
k=70 hasta infinito.
1. Preliminares
A continuación, se presentan aspectos relacionados con el problema tratado como lo
son la aritmética modular, la divisibilidad y la factorización, los números primos y
compuestos y el pequeño teorema de Fermat.
1.1 Aritmética modular
Villarroel y Villarroel (2022, p.321) citan a Gracián (2010, p.97) quien menciona que “En
la aritmética modular de Gauss se habla de congruencias en vez de igualdades, de manera que
la forma correcta de referirse a la expresión 17 ≡ 2 modulo 5 es «17 es congruente con 2
módulo 5». Para saber si dos números cualesquiera son congruentes módulo 5 basta con
hacer la diferencia y ver si el resultado es múltiplo de 5.
82 ≡ 58 (mod 4) porque 82 - 58 = 24, que es múltiplo de 4.
Por su parte, Koscielny et al. (2013) al definir congruencia establecen lo siguiente
Sean números naturales ( ). Si dos enteros, a y b, tienen el
mismo resto cuando se dividen entre n entonces se dice que son congruentes módulo n.
Denotamos esto por . En símbolos:
Sobre las congruencias Tillborg y Jajodia (2011) indican una serie de propiedades
importantes respecto a las congruencias:
307 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Respecto al mismo tema, Villarroel y Villarroel (2023) citan a Gauss (1965), Zaragoza
and Cipriano (2009, p. 25) e Include Poetry (2020)
1.2. Divisibilidad y factorización
Villarroel y Villarroel (2023) citan aspectos variados acerca de la factorización y la
divisibilidad donde planteados por Bodi (2008, p. 20). Al estudiar sobre los criterios de
divisibilidad en los libros de teoría de números y buscar en las páginas web hay estudios
importantes entre los cuales pueden citarse: Mora (2010, pp. 51-52) presenta una sección
titulada trucos de divisibilidad donde presenta la división entre 2, 3, 9 y 11; Niven y Zuckerman
(1976, pp. 9-19) trata sobre conceptos de divisibilidad sin detenerse al estudio de divisores
particulares; Varona (2019, pp.32-39) expone el tema de divisibilidad y habla sobre criterios de
divisibilidad; Otros autores que estudian sobre divisibilidad son Dickson(2005), Bogomolny
(2018), McDowell (2018) y Blancas (2020).
Sin embargo, las estrategias de divisibilidad planteadas por los autores mencionados
son muy incompletas pues no brindan gran información sobre todos los divisores. Al respecto,
el artículo de Villarroel y Villarroel (2023) es muy interesante en relación a este tema, ya que
constituye un importante referente en cuanto al tema de la divisibilidad entre diversos divisores
se refiere
Según Romo (2023, p.33) Dados dos números enteros se dirá que divide a, o
que es divisible entre , y se escribe , cuando exista un tercer número entero tal que
. Además, respecto a la división exacta, Tiborashi (2020, p.42-43) indica que “Dados
308 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
dos enteros decimos que es un divisor de y escribimos para algún .
También se dice que es un factor de o divide a , que x es divisible entre o que es
múltiplo de y”.
Tabla 1
Factorización de
con a=2 hasta a 10 y n=1 hasta n=12
2^(1)-1=1
2^(2)-1=3
2^(3)-1=7
2^(4)-1=3*5
2^(5)-1=31
2^(6)-1=3*3*7
2^(7)-1=127
2^(8)-1=3*5*17
2^(9)-1=7*73
2(10)-1=3*11*31
2(11)-1=23*89
2(12)-1=3*3*5*7*13
3^(1)-1=2
3^(2)-1=2*2*2
3^(3)-1=2*13
3^(4)-1=2*2*2*2*5
3^(5)-1=2*11*11
3^(6)-1=2*2*2*7*13
3^(7)-1=2*1093
3^(8)-1=2*2*2*2*2*5*41
3^(9)-1=2*13*757
3^(10)-1=2*2*2*11*11*61
3^(11)-1=2*23*3851
3^(12)-1=2*2*2*2*5*7*13*73
4^(1)-1=3
4^(2)-1=3*5
4^(3)-1=3*3*7
4^(4)-1=3*5*17
4^(5)-1=3*11*31
4^(6)-1=3*3*5*7*13
4^(7)-1=3*43*127
4^(8)-1=3*5*17*257
4^(9)-1=3*3*3*7*19*73
4^(10)-1=3*5*5*11*31*41
4^(11)-1=3*23*89*683
4^(12)-1=3*3*5*7*13*17*241
5^(1)-1=2*2
5^(2)-1=2*2*2*3
5^(3)-1=2*2*31
5^(4)-1=2*2*2*2*3*13
5^(5)-1=2*2*11*71
5^(6)-1=2*2*2*3*3*7*31
5^(7)-1=2*2*19531
5^(8)-
1=2*2*2*2*2*3*13*313
5^(9)-1=2*2*19*31*829
5^(10)-
1=2*2*2*3*11*71*521
5^(11)-1=2*2*12207031
6^(1)-1=5
6^(2)-1=5*7
6^(3)-1=5*43
6^(4)-1=5*7*37
6^(5)-1=5*5*311
6^(6)-1=5*7*31*43
6^(7)-1=5*55987
6^(8)-1=5*7*37*1297
6^(9)-1=5*19*43*2467
6^(10)-1=5*5*7*11*101*311
6^(11)-1=5*23*3154757
6^(12)-
1=5*7*13*31*37*43*97
7^(1)-1=2*3
7^(2)-1=2*2*2*2*3
7^(3)-1=2*3*3*19
7^(4)-1=2*2*2*2*2*3*5*5
7^(5)-1=2*3*2801
7^(6)-1=2*2*2*2*3*3*19*43
7^(7)-1=2*3*29*4733
7^(8)-
1=2*2*2*2*2*2*3*5*5*1201
7^(9)-1=2*3*3*3*19*37*1063
7^(10)-
1=2*2*2*2*3*11*191*2801
7^11)-1=2*3*1123*293459
309 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
5^(12)-
1=2*2*2*2*3*3*7*13*31*60
1
7^(12)-
1=2*2*2*2*2*3*3*5*5*13*19*43*
181
8^(1)-1=7
8^(2)-1=3*3*7
8^(3)-1=7*73
8^(4)-1=3*3*5*7*13
8^(5)-1=7*31*151
8^(6)-1=3*3*3*7*19*73
8^(7)-1=7*7*127*337
8^(8)-
1=3*3*5*7*13*17*241
8^(9)-1=7*73*262657
8^(10)-
1=3*3*7*11*31*151*331
8^(11)-1=7*23*89*599479
8^(12)-
1=3*3*3*5*7*13*19*37*73*
109
9^(1)-1=2*2*2
9^(2)-1=2*2*2*2*5
9^(3)-1=2*2*2*7*13
9^(4)-1=2*2*2*2*2*5*41
9^(5)-1=2*2*2*11*11*61
9^(6)-1=2*2*2*2*5*7*13*73
9^(7)-1=2*2*2*547*1093
9^(8)-
1=2*2*2*2*2*2*5*17*41*193
9^(9)-
1=2*2*2*7*13*19*37*757
9^(10)-
1=2*2*2*2*5*5*11*11*61*118
1
9^(11)-
1=2*2*2*23*67*661*3851
9^(12)-
1=2*2*2*2*2*5*7*13*41*73*6
481
10^(1)-1=3*3
10^(2)-1=3*3*11
10^(3)-1=3*3*3*37
10^(4)-1=3*3*11*101
10^(5)-1=3*3*41*271
10^(6)-1=3*3*3*7*11*13*37
10^(7)-1=3*3*239*4649
10^(8)-1=3*3*11*73*101*137
10^(9)-1=3*3*3*3*37*333667
10^(10)-1=3*3*11*41*271*9091
10^(11)-1=3*3*21649*513239
10^(12)-
1=3*3*3*7*11*13*37*101*9901
Fuente: Elaboración propia de los autores
En la tabla 1 se presenta los procesos de factorización de los resultados de las
potencias hasta exponente 12 de las bases que van desde 2 hasta 10. Las bases se indican
fuera de paréntesis y los exponentes se indican dentro de paréntesis en la parte izquierda de
cada igualdad. Se pueden apreciar los siguientes aspectos importantes
• Las potencias de cada exponente 4 depende de los factores de la potencia del
exponente 2,
• Las potencias de cada exponente 6 dependen de los factores de las potencias de
exponentes 2 y 3,
310 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
• Las potencias de cada exponente 8 dependen de los factores de exponente 4,
• Las potencias de exponente 10 dependen de los factores de las potencias de
exponentes 2 y 5
• Las potencias de exponente 12 dependen de los factores de las potencias de
exponentes 4 y 6
Además, puede verse que las potencias de exponente primo 2, 3, 5, 7 y 11 son
generadores de primos cada vez más grandes que no han aparecido en potencias previas de
ninguna otra base. Vea por ejemplo que:
• Para las potencias de exponente 7: se generan un conjunto de primos 127, 1093,
19531, 55987, 4733, 377, 4069. Se repite 127 que aparece en las potencias de base 2,
de base 4 y de base 8 y se repite 1093 en el caso de las bases 3 y 9
• Para las potencias de exponente 11: se generan un conjunto de primos 23, 89, 3851,
683, 12207031, 3154757, 1123, 293459, 599479, 67, 661, 21649, 513239. Para las
potencias de base 3 y base 9 e igual pasa con el 89 en el caso de las bases 2, 4 y 8 y
se repite 3851 en el caso de base 3 y 9 con exponente 11.
• Siempre hay aspectos similares para cada uno de los exponentes
1.3. Números primos y compuestos
Pace (2012) al referirse a los números primos, señala que “son números mayores
que 1, que son exactamente divisibles solo por 1 y ellos mismos”, tienen una larga historia
en matemáticas, ya que se relacionan con la noción de números atómicos, es decir, que no
pueden ser construidos como un producto de números más pequeños. Para probar si un
número tiene varios divisores se debe probar con números primos en forma ascendente los
cuales son:
Los números compuestos son aquellos que aparte de ser divisibles entre 1 y n
también deben tener un divisor entre uno o más de los divisores de 2 y n-1, es decir, como
mínimo tienen 3 divisores, pudiendo existir hasta números ampliamente compuestos debido a
la gran cantidad de factores primos que poseen.
Respecto a los números primos, los autores Villarroel y Villarroel (2022, p.325) citan a
los autores García (2005, p.87), Mora (2010, p.17), y Bernaschini(2017, p.30) y en su otro
311 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
artículo, Villarroel y Villarroel (2023, p.4) citan a Niven y Zuckerman (2004), Burton (1965) y
Pérez (2022) quienes hacen importantes apreciaciones sobre los números primos.
1.4. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Romo (2023, p. 39) al hablar acerca del mínimo común múltiplo menciona que “Dados
dos números positivos a, b, el conjunto de múltiplos comunes a ambos no está vacío, pues a*b
es un múltiplo común, y está acotado inferiormente por max(a, b). Luego, tiene sentido definir
el mínimo común múltiplo de a y b como el menor de los múltiplos comunes a ambos, y se
denotará por [a, b]”
Aquí se usará el concepto de mínimo común múltiplo de los factores comunes de las
potencias de la forma
según la forma del exponente n en la
expresión
, lo cual será explicado al presentar en los resultados los factores primos que
dependen del exponente Sin embargo, la consideración de estos detalles será ampliado en
la sección resultados en una forma más amplia.
1.5. Pequeño teorema de Fermat
Según Zhao (2004) Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Aparece
en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con
el siguiente texto:
p divide a a
p-1
- 1 cuando p sea primo y a sea coprimo con p.
Es decir, que el pequeño teorema de Fermat afirma que si, es cualquier número primo
y es cualquier entero tal que .
Según Euler (1741) la primera demostración publicada se debe a Leonhard Euler en
1736 y daría otras dos demostraciones más a lo largo de su vida, la primera demostración era
un manuscrito de Gottfried Leibniz de 1683 y que nunca publicó. Por otra parte,
Caldwell (1994) señala que “Gauss publicó una prueba más en su libro Disquisitiones
Arithmeticae en 1801”, lo cual es también referido por Barrantes et al. (2006)
RESULTADOS
A partir de la ecuación originalmente dada en el título del artículo, se deduce
2.1. Soluciones para exponentes compuestos pares o impares
312 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
En la (ecuación 1) si c es un compuesto par entonces
es par, por lo cual
es impar y así
es par, pero como no hay ningún impar que sea divisible entre un divisor par
entonces la división es imposible, lo que indica que no pueden existir soluciones para valores
de c par. Además, si en la (ecuación 1) c es un compuesto impar entonces
es par, por lo
cual
es impar y así
es impar, como un impar puede ser divisible entre otro impar,
entonces la división es posible, lo cual indica que si es posible (pero no seguro) que haya
soluciones para valores de c impar.
2.2. Posibles valores solución
Dado que todo exponente compuesto c impar puede escribirse en la forma general:
Es posible sustituir la (ecuación 2) en la (ecuación 1), de lo cual se obtiene que:
La ecuación anterior plantea la división exacta indicada por la ecuación:
2.3. Uso del triángulo generador de números compuestos
Villarroel y Villarroel en sus artículos de (2022) y (2023) establecieron los llamados
triángulos generadores de números compuestos, los cuales son una herramienta útil en base a
las congruencias. Aunque en aquellos artículos implementaron el uso de dichos triángulos con
un sentido de exclusión de los compuestos para hallar posteriormente los primos, en este
artículo lo usan para determinar los valores del exponente k, que generan posibles divisores
compuestos . Por lo tanto, se deben buscar entonces los valores de k que hacen que
sea siempre un número compuesto.
Al proceder como en los artículos citados con:
En se determina que el exponente es compuesto para los valores de k =
4, 7, 10, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 34, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 52, 55,
57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, … y así sucesivamente. Lo anterior puede representarse en el
313 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
siguiente triángulo generador que permite ir determinando los siguientes valores que dan
números compuestos.
Figura 1
Triángulo generador de los exponentes k
4
7 7
10 12 10
13 17 17 13
16 22 24 22 16
19 27 31 31 27 19
22 32 38 40 38 32 22
25 37 45 49 49 45 37 25
28 42 52 58 60 58 52 42 28
31 47 59 67 71 71 67 59 47 31
34 52 66 76 82 84 82 76 66 52 34
37 57 73 85 93 97 97 93 85 73 57 37
40 62 80 94 104 110 112 110 104 94 80 62 40
43 67 87 103 115 123 127 127 123 115 103 87 67 43
Fuente: Elaboración propia de los autores
Los valores de k se evalúan en ecuación 5 y resultan los posibles divisores c resultando
los valores
9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95,
99, 105, 111, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 129, 133, 135, 141, 143, 145, y los siguientes
compuestos. Lo anterior puede generalizarse en el siguiente triángulo que permite seguir
hallando los compuestos sin la necesidad de tanteo y comprobación en 2k+1.
314 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Figura 2
Triángulo generador de divisores compuestos del tipo 2k+1
9
15 15
21 25 21
27 35 35 27
33 45 49 45 33
39 55 63 63 55 39
45 65 77 81 77 65 45
51 75 91 99 99 91 75 51
57 85 105 117 121 117 105 85 57
63 95 119 135 143 143 135 119 95 63
69 105 133 153 165 169 165 153 133 105 69
75 115 147 171 187 195 195 187 171 147 115 75
81 125 161 189 209 221 225 221 209 189 161 125 81
87 135 175 207 231 247 255 255 247 231 207 175 135 87
Fuente: Elaboración propia de los autores
Es preciso estudiar las expresiones
en cuanto a su factorización en los
exponentes k generados en la figura 1, tomando los divisores presentados en la figura 2
estudiando su expresión en factores primos y los factores faltantes de manera de apreciar si en
los primeros valores se da una coincidencia que permita visualizar la divisibilidad
entre
según lo expresado en la ecuación 4.
Esto es importante para posteriormente establecer una serie de argumentos
matemáticos importantes para la comprensión y solución del problema. Entre esos argumentos
están la consideración de los factores primos de las expresiones generales de la forma
en relación a la base a y al exponente n
2.4. Factores primos de
2.4.1. Factores dependientes de la base.
Si tenemos
hay dos factores dependientes de la base que son siempre y
. Ambos factores pueden aparecer con exponente 1 o superior. Se cumple que:
• ( ) aparece siempre que el exponente de
es impar
315 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
• Tanto ) como aparecen siempre que es par, es decir, aparecen
en toda expresión
En muchos casos ambos factores pueden aparecer con exponente superior a 1.
2.4. 2. Factores dependientes de los exponentes.
El exponente puede ser primo o compuesto, por ello es pertinente hacer el análisis de
los casos.
2.4. 2.1. Para exponentes compuestos
En este artículo, se tomará cada exponente n como un m.c.m y se usarán los primos
que lo generan como sus divisores (sin tomar en cuenta exponentes de los primos)
Y para efectos de factorización se tomará el m.c.m de los factores de las expresiones
del tipo
Proposición:
Siempre que se tenga una expresión de la forma
-1 con n compuesto entonces según
la expresión en factores primos del exponente n que se tenga
(Ecuación 6)
Se hallarán cocientes para cada uno de los primos que sean bases en el número n por
medio de:
(ecuación 7)
De manera que siempre la expresión
es divisible entre el mínimo de los factores
de las potencias cuyos exponentes sean los cocientes previos:
(ecuación 8)
Y esto ocurre indiferentemente de la base y el exponente que se tenga y de los
valores de de los exponentes de los primos en la descomposición factorial que
representen al exponente n, según lo indicado en la (ecuación 6)
En la proposición puede verse que se parte de los conceptos elementales de la
diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos, los cuales están dados por las ecuaciones:
(ecuación 9)
(ecuación 10)
Los cuales se aplican reiterativamente para los diferentes exponentes que se tengan.
316 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Primer ejemplo:
Supongamos que tengamos que factorizar
entonces
es un
m.c.m que depende de las bases entonces se buscan dos cocientes:
k
En este caso
dependerá del
, es decir, es
divisible entre dicho m.c.m. En efecto, puede expresarse por diferencia de cuadrados y
diferencia de cubos lo siguiente:
Aquí se observa que ciertamente
depende de
y
Puede verse que para sus divisores propios son contiene a los
números , pero no contiene al entonces en la factorización de entrarán factores
de
Segundo ejemplo:
Para
se tiene que
, entonces es un m.c.m que depende de
las bases , por lo cual se buscan 3 cocientes:
Es decir, que
es divisible (tiene por factor o contiene) entre el
Puede verse que los divisores de 60 son:
y ocurre que contiene a (que se
eliminan) quedan sin incluir y contiene a por lo que quedan que
corresponden a los cocientes antes hallados
Tercer ejemplo:
Para
Tenemos que
que depende de una sola base que es 2
por lo cual
contiene en su factorización a los factores de
Entonces para expresiones que dependen de un solo primo como
se trabaja
con
y para
se usa
. Es decir que en el caso de tener un exponente n
317 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
que dependa de una potencia de un único primo siempre se usa la potencia del primo al
exponente anterior al de n.
Nota: En general si un número tiene una descomposición en factores primos con 100
primos diferentes se deben calcular los cocientes desde k1 a k100 y buscar el mínimo de las
potencias que tienen como exponentes a los mencionados cocientes.
2.4.2.2. Para exponentes primos
En el caso de expresiones de la forma
donde el exponente n sea alguno de los
números primos es imposible encontrar factores en potencias previas excepto en
, ya
que todo primo es solo divisible entre 1 y el mismo primo.
Esto sucede porque a similitud de la prueba de Euclides de infinitos primos (ver Romo
(2023, p.54), Apóstol (2020, p. 19), Sardonil y Varona (2021, p.5)) la existencia de exponentes
primos es generador de primos cada vez más grandes de acuerdo al valor del exponente que
se tenga y dichos primos tienden a ser cada vez más grandes a medida que aumenta el
exponente.
Nota importante: para evitar los procesos anteriores es que se toma a como un m.c.m
y se divide entre cada una de las bases primas que lo generan, ya que ese procedimiento es
muchísimo más directo que buscar todos los divisores y ver cuáles son coprimos
(determinando cuales contienen a otros). De esta manera, con la búsqueda del mínimo común
múltiplo de los factores se avanza sustancialmente en la factorización para expresiones donde
los exponentes son números compuestos.
2.5. Otros factores primos de expresiones
En los incisos 2.4.1. y 2.4.2. se plantean factores relacionados con la base y con los
exponentes sean estos primos o compuestos. Sin embargo, en la factorización de expresiones
de la forma
, en muchos casos aparecen factores primos que son más grandes que el
exponente. Esto puede apreciarse en la siguiente tabla:
318 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Tabla 2
Factorización de potencias de base 2 a base 4 exponentes de 1 a 12
Potencias de base 2
Potencias de base 3
Potencias de
base 4
Contiene a 2 que deben
aparecer en todas las
potencias
de exponente impar
Contiene a 3 que
deben
aparecer en
todas las potencias
de exponente
impar
Contiene a 3 y 5 que deben
aparecer en todas las
potencias de exponente par
Contiene a 3 y 5 que deben
aparecer en todas las
potencias de exponente par
Contiene a 3 y 5 que
deben aparecer en
todas
las potencias de
exponente par
Es primo
Es primo
319 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Es primo
757
7
Contiene a
Falta 13
=
Fuente: Elaboración propia de los autores
2.6.- Primos codependientes del exponente n.
Es pertinente en este punto hacer la introducción a la teoría de números de los que
hemos llamados primos codependientes del exponente que se denotan que se
definen como aquellos primos de la forma:
(ecuación 11)
320 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
A continuación, se presenta la lista de los 100 primeros primos codependientes para
cada uno de los exponentes de 3, 5 y 7.
Exponente= 3
7 , 13 , 19 , 31 , 37 , 43 , 61 , 67 , 73 , 79 , 97 , 103 , 109 , 127 , 139 , 151 , 157 , 163 ,
181 , 193 , 199 , 211 , 223 , 229 , 241 , 271 , 277 , 283 , 307 , 313 , 331 , 337, 349 , 367 , 373 ,
379 , 397 , 409 , 421 , 433 , 439 , 457 , 463 , 487 , 499 , 523 , 541, 547 , 571 , 577 , 601 , 607 ,
613 , 619 , 631 , 643 , 661 , 673 , 691 , 709 , 727 , 733, 739 , 751 , 757 , 769 , 787 , 811 , 823 ,
829 , 853 , 859 , 877 , 883 , 907 , 919 , 937, 967 , 991 , 997 , 1009 , 1021 , 1033 , 1039 , 1051 ,
1063 , 1069 , 1087 , 1093 , 1117, 1123 , 1129 , 1153 , 1171 , 1201 , 1213 , 1231 , 1237 , 1249 ,
1279 , 1291 , 1297 , 1303 , 1321 , 1327 , 1381 , 1399 , 1423 , 1429 , 1447 , 1453 , 1459 , 1471 ,
1483 , 1489 , 1531 , 1543 , 1549 , 1567 , 1579 , 1597 , 1609 , 1621 , 1627 , 1657 , 1663 , 1669 ,
1693 , 1699 , 1723 , 1741 , 1747 , 1753 , 1759 , 1777 , 1783 , 1789 , 1801 , 1831 , 1861 , 1867 ,
1873 , 1879 , 1933 , 1951 , 1987 , 1993 , 1999 , 2011 , 2017 , 2029 , 2053 , 2083 , 2089 , 2113 ,
2131 , 2137 , 2143 , 2161 , 2179 , 2203 , 2221 , 2239 , 2251 , 2269 , 2281 , 2287 , 2293 , 2311 ,
2341 , 2347 , 2371 , 2377 , 2383 , 2389 , 2437 , 2467 , 2473 , 2503 , 2521 , 2539 , 2551 , 2557 ,
2593 , 2617 , 2647 , 2659 , 2671 , 2677 , 2683 , 2689 , 2707 , 2713 , 2719 , 2731 , 2749 , 2767 ,
2791 , 2797 , 2803 , 2833 , 2851 , 2857 , 2887 , 2917 , 2953 , 2971 , 3001.
Exponente=5
11 , 31 , 41 , 61 , 71 , 101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 211 , 241 , 251 , 271 , 281 , 311 , 331
, 401 , 421 , 431 , 461 , 491 , 521 , 541 , 571 , 601 , 631 , 641 , 661 , 691 , 701, 751 , 761 , 811 ,
821 , 881 , 911 , 941 , 971 , 991 , 1021 , 1031 , 1051 , 1061 , 1091, 1151 , 1171 , 1181 , 1201 ,
1231 , 1291 , 1301 , 1321 , 1361 , 1381 , 1451 , 1471 , 1481 , 1511 , 1531 , 1571 , 1601 , 1621 ,
1721 , 1741 , 1801 , 1811 , 1831 , 1861 , 1871 , 1901 , 1931 , 1951 , 2011 , 2081 , 2111 , 2131 ,
2141 , 2161 , 2221 , 2251 , 2281 , 2311 , 2341 , 2351 , 2371 , 2381 , 2411 , 2441 , 2521 , 2531 ,
2551 , 2591 , 2621 , 2671 , 2711 , 2731 , 2741 , 2791 , 2801 , 2851 , 2861 , 2971 , 3001 , 3011 ,
3041 , 3061 , 3121 , 3181 , 3191 , 3221 , 3251 , 3271 , 3301 , 3331 , 3361 , 3371 , 3391 , 3461 ,
3491 , 3511 , 3541 , 3571 , 3581 , 3631 , 3671 , 3691 , 3701 , 3761 , 3821 , 3851 , 3881 , 3911 ,
3931 , 4001 , 4021 , 4051 , 4091 , 4111 , 4201 , 4211 , 4231 , 4241 , 4261 , 4271 , 4391 , 4421 ,
4441 , 4451 , 4481 , 4561 , 4591 , 4621 , 4651 , 4691 , 4721 , 4751 , 4801 , 4831 , 4861 , 4871 ,
4931 , 4951 .
Exponente=7
321 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
29 , 43 , 71 , 113 , 127 , 197 , 211 , 239 , 281 , 337 , 379 , 421 , 449 , 463 , 491 , 547 ,
617 , 631 , 659 , 673 , 701 , 743 , 757 , 827 , 883 , 911 , 953 , 967 , 1009 , 1051 , 1093 , 1163 ,
1289 , 1303 , 1373 , 1429 , 1471 , 1499 , 1583 , 1597 , 1667 , 1709 , 1723 , 1877 , 1933 , 2003 ,
2017 , 2087 , 2129 , 2143 , 2213 , 2269 , 2297 , 2311 , 2339 , 2381 , 2423 , 2437 , 2521 , 2549 ,
2591 , 2633 , 2647 , 2689 , 2731 , 2801 , 2843 , 2857 , 2927 , 2969 , 3011 , 3067 , 3109 , 3137 ,
3221 , 3319 , 3347 , 3361 , 3389 , 3529 , 3557 , 3571 , 3613 , 3697 , 3739 , 3767 , 3823 , 3851 ,
3907 , 4019 , 4159 , 4201 , 4229 , 4243 , 4271 , 4327 , 4397 , 4481 , 4523 , 4621 , 4649 , 4663 ,
4691 , 4733 , 4789 , 4817 , 4831 , 4943 , 4957 , 4999 , 5153 , 5167 , 5209 , 5237 , 5279 , 5419 ,
5503 , 5531 , 5573 , 5657 , 5741 , 5783 , 5839 , 5867 , 5881 , 5923 , 6007 , 6091 , 6133 , 6203 ,
6217 , 6287 , 6301 , 6329 , 6343 , 6427 , 6469 , 6553 , 6581 , 6637 , 6679 , 6763 , 6791 , 6833 ,
6917 , 6959 , 7001.
El lector al detallar los primos de tabla 1 puede apreciar que los primos codependientes
aparecen completos en el caso de la potencia 3 y 5 y que en el caso de la potencia 7 faltan los
primos 19531 y 55987, pero la (ecuación 11) puede usarse para probar si un número primo es
codependiente de un exponente n en una forma muy sencilla.
Nota importante: Sería ilógico y muy poco intuitivo (matemáticamente hablando),
esperar que una expresión de la forma
dependa de primos que no guarden ninguna
relación con los valores de y
A continuación, se presentan unos ejemplos de verificaciones que han sido
realizadas usando la calculadora online Alpertron
Ejemplo 1:
Al trabajar con los primos de la línea anterior ocurre que:
Los divisores relacionados con la base son 1 y 3. Además, 179 que es primo cumple
con el teorema de Fermat, ya que es divisor de la potencia presentada.
En cuanto a los otros primos que son factores debe probarse si son primos
codependientes del exponente 178. Para ello se divide el compuesto previo a cada primo entre
178 y si cada división es exacta entonces ciertamente los primos son codependientes de 178
322 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Es obvio que los primos son entonces codependientes con el exponente 178
2.8. Descomposición factorial de potencias de la forma
Si se retoman los valores de la figura 1 y de figura 2 para ubicar respectivamente los
exponentes y los divisores al cuadrado y para cada valor se buscan sus factores
primos, tomando los exponentes que generan divisores compuestos hasta 70 se pueden
observar los comportamientos de los diversos factores y hacer una verificación importante
acerca de los factores primos que se obtienen en el proceso. De hacer lo antes indicado resulta
la siguiente tabla de valores que se presenta a continuación:
Tabla 3
Factores de
para exponentes según figura 1
Poten
cia
Factorización realizada con la calculadora
en línea alpertron
Divi
sor
Cua
dr
Expresió
n en
primos
Factor
es
faltant
es
8
1
3*3
*3*3
3
*3*3
2
25
3*3
*5*5
3
*5*5
4
41
3*3
*7*7
3
*7*7
6
25
5*5
*5*5
5
*5*5
7
29
3*3
*3*3*3*3
3
*3*3*3*
3
1
089
3*3
*11*11
3
*11*11
323 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
1
521
3*3
*13*13
3
*13*13
2
025
3*3
*3*3*5*5
3
*3*3*5
2
401
7*7
*7*7
7
*7*7
2
601
3*3
*17*17
3
*17*17
3
025
5*5
*11*11
5
*5*11*1
1
3
249
3*3
*19*19
3
*19*19
3
969
3*3
*3*3*7*7
3
*3*3*7*
7
4
225
5*5
*13*13
5
*13*13
4
761
3*3
*23*23
3
*23*23
5
625
3*3
*5*5*5*5
3
*5*5*5*
5
5
929
7*7
*11*11
7
*7*11*1
1
6
561
3*3
*3*3*3*3*3
*3
3
*3*3*3*
3*3*3
7
225
5*5
*17*17
5
*17*17
324 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
7
569
3*3
*29*29
3
*29*29
8
281
7*7
*13*13
7
*13*13
8
649
3*3
*31*31
3
*31*31
9
025
5*5
*19*19
5
*5*19*1
9
9
801
3*3
*3*3*11*1
1
3
*3*3*11
*11
1
1025
3*3
*5*5*7*7
3
*5*7*7
1
2321
3*3
*37*37
3
*37*37
1
3225
5*5
*23*23
5
*5*23
1
3689
3*3
*3*3*13*1
3
3
*3*3*13
*13
1
4161
7*7
*17*17
7
*7*17*1
7
1
4641
11*
11*11*11
1
1*11*1
1
1
5129
3*3
*41*41
3
*41*41
325 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
1
5625
5*5
*5*5*5*5
5
*5*5*5*
5
1
7689
7*7
*19*19
7
*19*19
1
8225
3*3
*3*3*3*3*5
*5
3
*3*3*3*
3*5*5
1
9881
3*3
*47*47
3
*47*47
Elaboración propia de los autores
De la tabla 3 puede observarse que siempre hay más de un factor faltante en la última
columna, lo cual indica que para los exponentes hasta 70 es imposible que se dé la división
exacta planteada en la ecuación 4.
2.9. Factores primos de
y primos codependientes del exponente k
Es importante hacer un conjunto de apreciaciones importantes
1) Toda expresión
independientemente de su exponente k par o impar, primo o
compuesto es divisible entre 3 y toda expresión
con exponente k par es divisible
entre 5 pues 3 y 5 son los vecinos de la base.
2) Toda expresión
con exponente par previo a algún primo es divisible entre el
primo (que es un primo codependiente del exponente n). Esto se debe al primer
teorema de Fermat.
3) Toda expresión
con primo es generador de primos que no aparecen en
ninguna factorización previa de ese tipo con el exponente menor. En este caso la
expresión es divisible entre 3 y entre primos codependientes del exponente k
4) Toda expresión
con k compuesto es divisible entre el m.c.m de los factores de
las expresiones
con Aparte de los primos que se heredan
como factores provenientes del mínimo común múltiplo de los factores resultan también
primos codependientes del exponente k que se tenga.
326 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Se debe tener en cuenta que para los exponentes antes de 70 como puede apreciarse
en tabla 3 siempre son superiores a los términos de los factores faltantes y por la teoría de
primos codependientes es inconcebible pensar que si de las factorizaciones previas no resultan
esos factores faltantes pequeños al compararse con el exponente mucho menos podrán salir
de los primos codependientes que son como mínimo una unidad superior (kn+1= k+1 si n=1) o
iguales al doble del exponente más 1 (2k+1) cuando son valores pequeños, pero pueden ser
cualquier múltiplo de k aumentado en 1 como fue indicado antes en (ecuación 11). Los primos
codependientes generados en el caso de exponentes primos tienden a ser muy grandes.
Además, el hecho de que los exponentes k y los posibles divisores 2k+1 crecen muestra
que:
(i) La diferencia entre los factores faltantes y los exponentes va en aumento y por lo tanto dado
que generalmente no hay repeticiones de las bases no se ve la aparición de (
compuesto y mucho menos que se pueda dar la aparición de
compuesto.
(ii) La repetición de las bases 3 y 5 se da para los siguientes casos de potencia
El factor
aparece exclusivamente en las potencias
cumpliéndose que
mientras mayor es la factorización del exponente en potencias de 3, mayor será el exponente
con que aparezca el 3 en la factorización de la potencia respectiva. Por ello si el exponente
tiene
como en el caso de los exponentes 3, 6, 12, 15, 21 en la factorización aparece
, si
el exponente tiene
como 9, 18, 36, 45, y sus otros múltiplos en la factorización aparece
y
el exponente es mayor si en el exponente aparece
con n>2
El factor
solo aparece en potencias del tipo
, es decir, en potencias donde el
exponente es 10, 20, 30, 40 y las siguientes decenas. En potencias de exponente 100 que
tiene
aparece
en la factorización. Esto se cumple para el 5 solo con potencias pares ya
que se dijo que toda potencia de exponente impar contiene el número anterior a la base que
sería 3, pero nunca el número posterior a la base que sería el 5.
Los incisos explican porque, por ejemplo, en
como en
aparece como factor y se tiene hay una repetición como
, es decir, si en una
expresión previa aparece un factor y se consigue otra expresión con exponente múltiplo del
factor siempre habrá repeticiones del factor (al cuadrado o con otro exponente), pero eso no
ocurre sin que se den apariciones previas de un factor en una potencia anterior. Obsérvese por
ejemplo, que 3 aparece en
, pero en
aparece
y en
aparece
porque se
327 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
va multiplicando el exponente por 3 en cada caso. Entonces si en
aparece por primera
vez el factor 7, la aparición de
se da en
, ya que . Otro ejemplo para animar
la imaginación del lector es este
contiene al 17, por lo tanto, se requiere
para encontrar
En efecto:
De esta manera, para encontrar una potencia
que sea divisible entre
se debe buscar la primera aparición de 3 y la primera de 5 en alguna potencia
de 4 y considerar multiplicar ese exponente por 15, entonces como
que se
cumple para exponente 2, se debe multiplicar ese exponente por 15 así , por lo
cual
es divisible entre 225. En efecto, al calcular dicha expresión:
Aquí puede verse que en este caso para 2k+1=15 se necesita no k=7 como exponente
sino k=30 para hallar que es divisible entre
Mientras aumenta el divisor su factorización tiende a ser más complicada e incluso con
más primos lo que dificulta aún más poder llegar a que se disminuya el número de factores
faltantes
2.10. Alcanzando a los cuadrados de los divisores
A continuación, se presenta un cuadro que muestra cuando las expresiones
son
divisibles entre los cuadrados de los divisores compuestos de la figura 2, es decir, se pretende
evidenciar con el uso de los incisos
cuando verdaderamente los valores de tabla 1
ampliada (es decir, tomando en cuenta todos los exponentes, desde 1 a 70 sin excepciones)
contienen los factores primos de los exponentes. Para ello en la tabla siguiente en la columna 1
se presenta el divisor y el exponente, la primera aparición de la base o incluso parte del
cuadrado en un determinado exponente y cuál es el exponente en el que se completa el
cuadrado.
El lector puede ver, por ejemplo, que en
aparece la base 15 y en
más que el 21 aparece casi su cuadrado faltando solo un 7, ya que
Al
seguir trabajando de esta forma es posible listar los factores que aparecen y asimismo indicar
los factores faltantes. Así, al seguir esa forma de trabajo tomando en cuenta todas las
328 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
potencias hasta el exponente 70 se puede entonces realizar la tabla que muestra lo que sucede
en cada uno de los casos y se obtiene que al trabajar con los diferentes exponentes resulta la
siguiente tabla:
Tabla 4
Exponente que contiene a los divisores al cuadrado
Divisor(2k+1
)
según figura
2)
Exponente
(k)
Según
figura 1
Primer
exponente
donde
aparece el
divisor
(2k+1)
(tabla3)
Expresión
que aparece
Expresión
que falta en
el cuadrado
Exponente
donde
estará el
cuadrado
9
4
3
9
9
3*9=2
7
15
7
2
15
15
2*15=
30
21
10
3
63
7
3*7=
21
25
12
10
25
25
10*25
=250
27
13
9
27
27
9*27=
243
33
16
5
33
33
5*33=
165
35
17
6
35
35
6*35=
210
39
19
6
117
13
6*13=
78
45
22
6
45
45
6*45=
270
329 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
49
24
21
49
49
21*49
=1029
51
25
4
51
51
4*51=
204
55
27
10
275
11
10*11
= 110
57
28
9
171
19
9*19=
171
63
31
3
63
63
3*63=
189
65
32
6
65
65
6*65=
390
69
34
11
69
69
11*69
=759
75
37
10
75
75
10*75
=750
77
38
15
77
77
15*77
= 1155
81
40
27
81
81
27*81
= 2187
85
42
4
85
85
4*85=
340
87
43
28
87
87
28*87
=2436
91
45
6
91
91
6*91=
546
93
46
5
93
93
5*93=
465
95
47
18
95
95
18*95
=1710
330 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
99
49
15
99
99
15*99
=1435
105
52
6
210
35
6*35=
210
111
55
18
333
37
18*37
=666
115
57
22
115
115
22*11
5= 2530
117
58
6
117
117
6*117
= 702
119
59
12
119
119
12*11
9=1428
121
60
55
121
121
55*12
1=6655
123
61
10
41
41
10*41
=410
125
62
50
125
125
50*12
5= 6250
129
64
7
129
129
7*129
=903
133
66
9
133
133
9*133
=1197
135
67
18
135
135
18*13
5= 2430
141
70
23
141
141
23*14
1=3243
Fuente: Elaboración propia de los autores
Entre los aspectos resaltantes de la tabla 4 antes mostrada se pueden mencionar
elementos de interés entre los cuales están los siguientes:
La tabla 4 establece que para encontrar los divisores presentes en la columna 1 al
cuadrado es necesario ubicar la columna 6 donde el número corresponde al exponente de la
331 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
expresión
donde aparecerá la factorización del divisor compuesto de la columna 1 por
primera vez. La última columna siempre será el producto de los valores de dos columnas, que
son la columna 3 y la columna 5. La columna 3 indica el exponente de
donde se da la
primera aparición de parte de los factores del cuadrado (como en la tabla 1) y la columna 5 es
el factor faltante para alcanzar el cuadrado. La columna 4 es el valor totalizado que aparece del
divisor al cuadrado que se encuentra en la potencia de exponente en la columna 2
Es decir, si se piensa en el divisor su cuadrado es que es
se ubica por
primera vez en la expresión
y como
entonces se debe buscar la expresión
para encontrar
en su factorización. También se encuentra
expresado en
y para hallar
es necesario
y en el caso de se
encuentra por primera vez en
, pero
contiene a y al dividir resulta por lo
cual
aparecerá en
=
. Los aspectos indicados respecto a los divisores,
aparición de los divisores por primera vez y los divisores pueden verse en la tabla 3
2.11. La tabla 4, la ecuación 4 y los exponentes mayores que 70.
La tabla 3 muestra que siempre los exponentes necesarios para asegurar la aparición
de los divisores al cuadrado
son siempre un múltiplo del divisor
como consta
en la última columna y dicho valor es superior en cada caso a los exponentes k en la columna
2, es decir, que siempre el cuadrado aparecerá en una expresión del tipo
donde:
Para los exponentes menores que 70, donde se dan las mayores cercanías entre
factores primos, como por ejemplo
los factores primos son
cercanos, pero para exponentes mayores a 70, los factores primos están distanciados y en
consecuencia los valores de M, serán muy grandes si se comparan tanto con como con
, y en consecuencia es imposible pensar que para factores más grandes se encuentre algún
factor M que se iguale con el exponente de turno En consecuencia, no hay soluciones de la
ecuación 4. Es decir, nunca se va a cumplir la división completa entre un divisor al cuadrado
del tipo que sea compuesto.
DISCUSIÓN
Los métodos planteados para la factorización de las expresiones de la forma general
independientemente del valor de evidencian un conjunto de herramientas útiles
entre las cuales se precisan las siguientes:
332 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
• El mínimo común múltiplo de las potencias ofrece información útil para factorizar
• Las expresiones exponenciales antes indicadas en una forma práctica en base a los
factores primos del exponente n, lo cual es por supuesto útil en el estudio de la
ecuación 3 o ecuación 4.
• La teoría de los números primos codependientes del exponente (expuesto en las
secciones 2.6 y 2.7) de las expresiones estudiadas ofrece un ahorro de cálculos que es
interesante en los procesos de factorización, ya que ofrece una economía
computacional interesante, al descartar muchísimos primos, en base al exponente.
• El análisis de la multiplicidad de los divisores en nuevas potencias que es presentado
en las secciones 2.8, 2.9 y 2.10 constituye un elemento predictivo importante en cuanto
a posibilidades de divisibilidad de cualquier expresión entre un determinado divisor al
cuadrado.
En tal sentido, este artículo muestra el uso de nuevas herramientas matemáticas cuya
implementación sería importante en el estudio de varios problemas de la teoría de
números.
CONCLUSIONES
Lo expuesto en este artículo es importante porque el mismo resalta un conjunto de
aspectos interesantes sobre el problema planteado, entre los que pueden citarse los siguientes:
1) La (ecuación 1) luego del estudio de casos de posibles soluciones pares o impares
resulta en las ecuaciones 3 y 4 al determinar que solo hay posibles soluciones impares,
es decir, para , junto con el uso de los triángulos presentados en la figura 1 y
en la figura 2, ayudan a encontrar los posibles valores de los exponentes (compuestos
o primos) y de los posibles divisores (compuestos)
2) El estudio de las expresiones de la forma
y el estudio de sus posibles factores
primos o divisores constituye un abordaje interesante que junto con los detalles
mostrados de los primos codependientes del exponente y su reiterativa aparición en las
potencias de base 2 hasta 10 permite contar con una estrategia para la factorización
total de dichas expresiones, lo cual sumado al uso del m.c.m del exponente permite
obtener ventajas en cuanto a los procesos de factorización actualmente usados.
3) El estudio de
y su factorización permite apreciar que en esas expresiones
numéricas aparecen un conjunto de factores de los divisores compuestos según lo
333 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
sugerido en la ecuación 4, pero nunca en ningún caso aparece el divisor en forma total,
ya que es compuesto y por supuesto factorizable, en la cual se reflejan los factores
faltantes para cada divisor al cuadrado como se explicó en la tabla 4.
4) La tabla 4 constituye una forma de estudiar los exponentes M, en los cuales se
encuentran los factores en los divisores al cuadrado, los cuales son mucho mayores
que k y en consecuencia ello evidencia que no hay un compuesto impar
desde 9 hasta infinito que cumpla con la ecuación que le dé cumplimiento a las
ecuaciones 1), 3) y 4), por lo tanto, se concluye que no hay solución del problema de
congruencia planteado.
Declaración de conflicto de interés
Los autores declaran no tener ningún conflicto de interés relacionado con esta
investigación.
REFERENCIAS
Barrantes, J., & Ruiz, A. (2006). Disquisitiones Arithmeticae - Versión española. Archivado
desde el original el 10 de abril de 2008. Consultado el 3 de mayo de 2008.
Bernaschini, E. (2017). Números primos: una historia sin fin. Revista de Educación Matemática,
32(3), 29–36. Unión Matemática Argentina - Famaf (UNC).
Bodi, S. (2008). Análisis de la comprensión de divisibilidad en el conjunto de los números
naturales. Facultad de Educación, Departamento de Innovación y Formación Didáctica,
Universidad de Alicante.
Blancas, A., et al. (2020). Sobre un criterio de divisibilidad entre 11. Publicación Semestral
Padi, 8(15), 72–76.
Bogomolny, A. (2018). Divisibility by 7, 11, and 13. Último acceso 10 de marzo de 2020.
https://www.cut-the-knot.org/blue/div7-11-13.shtml
Burton, J. (1965). Teoría de los números. Biblioteca de Matemática Superior. Editorial Trillas.
Caldwell, C. (1994). Proof of Fermat's Little Theorem - The primes page. Consultado el 3 de
mayo de 2008.
Dickson, E. (2005). History of the Theory of Numbers. Divisibility and Primality (Vol. 1). Dover.
334 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
Euler, L. (1741). Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio.
Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 8, 141-146. Archivado desde el
original el 22 de diciembre de 2006.
García, F. (2005). Secretos de los números primos. Manual Formativo de ACTA, (37), 87-97.
ISSN 1888-6051.
Gauss, C. (1965). Cap.3 Powers' residues. Disquisitiones Arithmeticae. Yale University Press.
ISBN 0-300-09473-6. (Traducción al español). Archivado el 20 de septiembre de 2008
en Wayback Machine.
Gracián, E. (2010). Los números primos: un largo camino al infinito. RBA Libros. ISBN
9788498678185.
Include Poetry. (2020). Aritmética modular. https://www.include-
poetry.com/Code/C++/Matematicas/Teoria-numeros/Aritmetica-modular/.
Koscielny, C., Kurkowski, M., & Srebrny, M. (2013). Modern Cryptography Primer: Theoretical
Foundations and Practical Applications. Springer. ISBN 978-3-642-41385-8.
McDowell, E. (2018). Divisibility tests: A history and user’s guide. Convergence.
https://doi.org/10.4169/convergence20180513
Mora, W. (2010). Introducción a la Teoría de Números: Ejemplos y algoritmos (1ra ed.). Escuela
de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica. ISBN 978-9968-641-11-1.
Niven, I., & Zuckerman, H. (2004). Introducción a la teoría de números (p. 19). ISBN 968-18-
069-7.
Pace, G. (2011). Mathematics of Discrete Structures for Computer Science. Springer. ISBN
978-3-642-29839-4.
Pérez, M. (2022). Definición de número primo. https://conceptodefinicion.de/numero-primo/.
Pérez, J., & Merino, M. (2009). Definición de números naturales. https://definicion.de/numeros-
naturales/.
Romo, G. (2023). Teoría de números: Metodología Problem Solving con aplicaciones en
criptografía y programación en Python. https://www.youtube.com/c/GerardRomo.
También disponible en la biblioteca Toomates: http://www.toomates.net/biblioteca.htm
Sadornil, D., & Varona, J. (2021). Existen infinitos primos (desde Euclides hasta el siglo XXI).
La Gaceta de la RSME, 24(2), 301–324.
https://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=1634#:~:text=Por%20otra%20parte%2C%20la%20d
335 Revista Multidisciplinar Epistemología de las Ciencias | vol. 2, núm. 1, 2025 | DOI: https://doi.org/10.71112/0pq8fb18
emostraci%C3%B3n,compuesto%20por%20alg%C3%BAn%20n%C3%BAmero%20prim
o%C2%BB.
Tiborashi, A. (2020). Matemáticas Discretas.
Tilborg, H., & Jajodia, S. (2011). Encyclopedia of Cryptography and Security (2nd ed.).
Springer. ISBN 978-1-4419-5906-5. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-5906-5
Apostol, T. M. (2020). Introducción a la teoría analítica de números. Reverté. ISBN
9788429191059. Consultado el 8 de octubre de 2022.
Villarroel, A., & Villarroel, F. (2022). Sobre la generación de los números primos: De la función
pr = n+2, a la evasión de las congruencias de los números compuestos. Impacto
Científico de Venezuela, 17(2), 319-334.
Villarroel, A., & Villarroel, F. (2023). Del test de Chika a un criterio general de divisibilidad entre
cualquier número primo o compuesto (terminados en 1, 3, 7, 9): características y
consecuencias. Revista digital Matemática, Educación e Internet, 23(2). Recuperado de:
https://tecdigital.tec.ac.cr/servicios/revistamatematica/material_didactico/revisado/Articul
os/RevistaDigital_V24_n1_2023_Villarroel/.
Villarroel, A., & Villarroel, F. (2023). De la función Pr =2Nx+5 y el descarte del triángulo de
generadores de números compuestos a la generación de los números primos. Revista
Matemática ESPOL, FCNM JOURNAL de Ecuador, 21(2).
Zaragoza, S., & Cipriano, A. (2009). Teoría de números. Visión Libros. ISBN 9788498864601.
Zhao, D. (2004). Carta de Pierre de Fermat a Frénicle de Bessy. Archivado desde el original el
22 de diciembre de 2006. Consultado el 3 de mayo de 2008.
